問題詳情:
《九章算術》中將底面的長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之爲陽馬,將四個面都爲直角三角形的四面體稱之爲蟞臑.在如圖所示的陽馬P﹣ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,則當點E在下列四個位置:PA中點、PB中點、PC中點、PD中點時分別形成的四面體E﹣BCD中,蟞臑有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【回答】
B【考點】直線與平面垂直的*質.
【分析】分情況討論:(1)當點E在PC中點時,*BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,即可得出結論;
(2)當點E在PA中點時:以D爲原點,分別以DA,DC,DP爲x,y,z軸的正方向建立空間直角座標系,設PD=DC=BC=1,則可求BC,BE,EC三邊長不滿足勾股定理,可得△EBC不是直角三角形,故故四面體E﹣BCD不是蟞臑.
(3)當點E在PB中點時:易*△BCE不是直角三角形(同上),可得四面體E﹣BCD不是蟞臑.
(4)當點E在PD中點時:由BC⊥平面ECD,DE⊥平面DBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個鱉臑.
【解答】*:(1)當點E在PC中點時:
因爲PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,
因爲ABCD爲正方形,所以BC⊥CD,
因爲PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD,
因爲DE⊂平面PCD,
所以BC⊥DE,
因爲PD=CD,點E是PC的中點,
所以DE⊥PC,
因爲PC∩BC=C,
所以DE⊥平面PBC,
由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,
即四面體EBCD是一個鱉臑,其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB;
(2)當點E在PA中點時:如圖,以D爲原點,分別以DA,DC,DP爲x,y,z軸的正方向建立空間直角座標系,
設PD=DC=BC=1,則:C(0,1,0),B(1,1,0),D(0,0,0),E(,0,),
可求:BC=1,BE=,EC=,三邊長不滿足勾股定理,可得△EBC不是直角三角形,
故故四面體E﹣BCD不是蟞臑.
(3)如下圖當點E在PB中點時:易*△BCE不是直角三角形(同上),故四面體E﹣BCD不是蟞臑.
(4)如下圖當點E在PD中點時:
由BC⊥平面ECD,DE⊥平面DBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,
即四面體EBCD是一個鱉臑.
故選:B.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:選擇題