問題詳情：
如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交於點O，AB＝5，AC＝6，點E，F分別在AD，CD上，AE＝CF＝
，EF交BD於點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝
.
(1)*：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角BD′AC的正弦值．
【回答】
解析：(1)*：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得
＝
，故AC∥EF.
因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得
DO＝BO＝
＝4.
由EF∥AC得
＝
＝
.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
於是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.
(2)如圖，以H爲座標原點，
的方向爲x軸正方向，
的方向爲y軸正方向，
的方向爲z軸正方向，建立空間直角座標系Hxyz.則H(0，0，0)，A(－3，－1，0)，B(0，－5，0)，C(3，－1，0)，D′(0，0，3)，
＝(3，－4，0)，
＝(6，0，0)，
＝(3，1，3)．
設m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，則
即
所以可取m＝(4，3，－5)．
設n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，則
即
所以可取n＝(0，－3，1)．
於是cos〈m，n〉＝
＝
，
sin〈m，n〉＝
.
因此二面角BD′AC的正弦值是
.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
