問題詳情:
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A(-3,0)、B(5,0)、C(0,5)三點,O爲座標原點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若把拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點M在△ABC內,求n的取值範圍;
(3)設點P在y軸上,且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的長.
【回答】
解:(1)把A.B.C三點的座標代入函數解析式可得,拋物線解析式爲y=-x2+x+5;
(2)∵拋物線頂點座標爲(1,),新拋物線的頂點M座標爲(1+n,1),設直線BC解析式爲y=kx+m,把B.C兩點座標代入可得,∴直線BC的解析式爲y=-x+5,令y=1,代入可得1=-x+5,解得x=4,∵新拋物線的頂點M在△ABC內,∴1+n<4,且n>0,解得0<n<3,即n的取值範圍爲0<n<3;
(3)當點P在y軸負半軸上時,如圖1,過P作PD⊥AC,交AC的延長線於點D,由題意可知OB=OC=5,∴∠CBA=45°,∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°,∴AD=PD,在Rt△OAC中,OA=3,OC=5,可求得AC=,設PD=AD=m,則CD=AC+AD=+m,∵∠ACO=∠PCD,∠COA=∠PDC,∴△COA∽△CDP,,解得PC=17;可求得PO=PC-OC=17-5=12,如圖2,在y軸正半軸上截取OP′=OP=12,連接AP′,則∠OP′A=∠OPA,∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA,∴P′也滿足題目條件,此時P′C=OP′-OC=12-5=7,綜上可知PC的長爲7或17.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題