問題詳情：
在平面直角座標系
中，已知橢圓
的離心率爲
，且橢圓
短軸的一個頂點到一個焦點的距離等於
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設經過點
的直線
交橢圓
於
，
兩點，點
.
①若對任意直線
總存在點
，使得
，求實數
的取值範圍；
②設點
爲橢圓
的左焦點，若點
爲
的外心，求實數
的值.
【回答】
【詳解】解：（1）依題意
解得
所以
，
所以橢圓
的方程爲
.
（2）設直線的方程爲
，
代入橢圓
的方程，消去
，得
.
因爲直線
交橢圓
於兩點，所以
，
解得
.
設
，
，則有
，
.
①設
中點爲
，
則有
，
.
當
時，因爲
，所以
，即
.
解得
.
當
時，可得
，符合
.
因此
.
由
，解得
.
②因爲點
爲
的外心，且
，所以
.
由
消去
，得
，所以
，也是此方程的兩個根.
所以
，
.
又因爲
，
，所以
，解得
.
所以
.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
