問題詳情:
在直角座標系中, 橢圓的中心在座標原點,其右焦點爲,且點 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的左、右頂點分別爲,是橢圓上異於的任意一點,直線交橢圓於另一點,直線交直線於點, 求*:三點在同一條直線上
【回答】
【詳解】(1)(法一)設橢圓的方程爲,
∵一個焦點座標爲,∴另一個焦點座標爲,
∴由橢圓定義可知,
∴,∴,∴橢圓的方程爲.
(法二)不妨設橢圓的方程爲(),
∵一個焦點座標爲,∴,①
又∵點在橢圓上,∴,②
聯立方程①,②,解得,,
∴橢圓的方程爲.
(2)設,,直線的方程爲,
由方程組消去,並整理得:,
∵,∴,,
∵直線的方程可表示爲,
將此方程與直線聯立,可求得點的座標爲,
∴,
∵
,所以,
又向量和有公共點,故,,三點在同一條直線上.
【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關係的應用問題,解答此類題目,通常聯立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組,應用一元二次方程根與係數的關係進行求解,此類問題易錯點是複雜式子的變形能力不足,導致錯解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等。
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題