已知曲線上的點與定點的距離與它到直線的距離的比是常數，又斜率爲的直線與曲線交於不同的兩點。（Ⅰ）求曲線的方程；...

問題詳情：

已知曲線上的點與定點的距離與它到直線的距離的比是常數，又斜率爲的直線與曲線交於不同的兩點。

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）設，直線與曲線的另一個交點爲，直線與曲線的另一個交點爲.若和點 共線，求的值。

【回答】

【詳解】解：（Ⅰ）根據題意可得：

整理得：

故曲線 的方程爲

（Ⅱ）設直線 的方程爲，

由消去 可得

則

設則

則

易得當，，故的最大值爲

（Ⅲ）設

則   ①，  ②，

又，所以可設，直線 的方程爲

由消去可得

則

即

代入①式可得，所以

所以，同理可得  

因爲三點共線，所以

將點的座標代入化簡可得，即 ．

【點睛】本題考查了直線與曲線的位置關係，一般需要設出點座標，聯立直線方程與曲線方程結合弦長公式求出最值問題，本題需要一定的計算能力

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題