問題詳情：
如圖,一輛汽車從A市出發沿海岸一條筆直公路以每小時100 km的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在A市南偏東方向距A市500 km,且與海岸距離爲300 km的海上B處有一艘快艇與汽車同時出發,要把一份檔案交送給這輛汽車的司機.
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把檔案送到司機手中?
(2)求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角.
(3)若快艇每小時最快行駛75 km,快艇全速行駛 ,應沿何種路線行駛才能儘快把檔案交到司機手中,最快需多長時間?
【回答】
解 (1)如圖①所示,設快艇以v km/h的速度從B處出發,沿BC方向行駛,t h後與汽車在C處相遇.
圖①
在△ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD爲AC邊上的高,BD=300.
設∠BAC=α,則sin α=
,cos α=
.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos α,
則v2t2=(100t)2+5002-2×500×100t×
,
整理得v2=
+10 000
=250 000
+10 000-
=250 000
+3 600.
當
,即t=
時,
=3 600,vmin=60.
即快艇至少以60 km/h的速度行駛才能把檔案送到司機手中.
(2)當v=60 km/h時,在△ABC中,AB=500,AC=100×
=625,BC=60×
=375.
由余弦定理,得cos∠ABC=
=0,
則∠ABC=90°.
故快艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角爲90°.
(3)如圖②所示,設快艇以75 km/h的速度沿BE行駛,t h後與汽車在E處相遇.
圖②
在△ABE中,AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE=
.
由余弦定理,得(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100t×
,
整理,得7t2-128t+400=0,解得t=4或t=
(捨去).
當t=4時,AE=400,BE=300,AB2=AE2+BE2,
則∠AEB=90°.
故快艇應垂直於海岸向北行駛才能儘快把檔案交到司機手中,最快需要4 h.
7．
知識點：解三角形
題型：解答題
