問題詳情:
如圖所示,已知、、是長軸長爲的橢圓上的三點,點是長軸的一個端點,過橢圓中心,且,. (1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓上異於其頂點的任一點,作圓的兩條切線,切點分別爲、,若直線 在軸、軸上的截距分別爲、,求*:爲定值.
【回答】
解:(1)依題意知:橢圓的長半軸長,則,
設橢圓的方程爲,由橢圓的對稱*知 又,,爲等腰直角三角形.
點C(1,1),B(-1,-1),由點C在橢圓上得,
所以橢圓E的方程爲 -------------5分
(1)設點由、分別爲圓切點知,,,
所以O、M、P、N四點共圓,且圓的直徑爲OP,
所以圓心爲,該圓的方程爲,
即,①
即點、滿足方程①,又點、都在圓上,、座標也滿足圓的方程,②
②①得直線的方程爲,
令,得,令得,
,,又點在橢圓上,
,即(定值);-
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題