問題詳情:
如圖,已知曲線C1:y=x3(x≥0)與曲線C2:y=﹣2x3+3x(x≥0)交於O,A,直線x=t(0<t<1)與曲線C1,C2分別交於B,D.
(Ⅰ)寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關係式S=f(t);
(Ⅱ)討論f(t)的單調*,並求f(t)的最大值.
【回答】
考點:
根據實際問題選擇函數類型;利用導數研究函數的單調*;利用導數求閉區間上函數的最值.
專題:
計算題;壓軸題.
分析:
(Ⅰ)先求出兩曲線的交點O、A座標,由直線x=t(0<t<1)與曲線C1,C2分別交於B,D表示出BD的長,利用四邊形ABOD的面積等於三角形ABO的面積+三角形OBD的面積;即可表示函數f(t)的關係式;
(Ⅱ)令f'(t)=0解得t,分區間討論f(t)的增減*得到哦f(t)的最大值及此時t的值即可.
解答:
解:(Ⅰ)由得交點O、A的座標分別是(0,0),(1,1).,
即.
(Ⅱ).令f'(t)=0解得.
當,從而f(t)在區間上是增函數;
當,從而f(t)在區間上是減函數.
所以當時,f(t)有最大值爲.
點評:
考查學生根據實際問題選擇函數關係的能力,以及利用導數研究函數增減*,利用導數求閉區間上函數最值的能力.
知識點:導數及其應用
題型:解答題