問題詳情：
25．（12.00分）如圖，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC於點D，∠FAC=
∠ABC，且∠FAC在AC下方．點P，Q分別是*線BD，*線AF上的動點，且點P不與點B重合，點Q不與點A重合，連接CQ，過點P作PE⊥CQ於點E，連接DE．
（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如圖1，當點P在線段BD上運動時，請直接寫出線段DE和線段AQ的數量關係和位置關係；
②如圖2，當點P運動到線段BD的延長線上時，試判斷①中的結論是否成立，並說明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什麼數量關係時，能使（1）中①的結論仍然成立（用含α的三角函數表示）．
【回答】
【解答】解：（1）①DE=
AQ，DE∥AQ，
理由：連接PC，PQ，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AD=CD，∠ABD=∠CBD=
∠BAC，
∵∠CAF=
∠ABC，
∴∠CBP=∠CAQ，
在△BPC和△AQC中，
，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴PC=QC，∠BPC=∠ACQ，
∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∵PE⊥CQ，
∴CE=QE，
∵AD=CD，
∴DE=
AQ，DE∥AQ；
②DE∥AQ，DE=
AQ，
理由：如圖2，連接PQ，PC，
同①的方法得出DE∥AQ，DE=
AQ；
（2）AQ=2BP•sinα
理由：連接PQ，PC，
要使DE=
AQ，DE∥AQ，
∵AD=CD，
∴CE=QE，
∵PE⊥CQ，
∴PQ=PC，
易知，PA=PC，
∴PA=PE=PC
∴以點P爲圓心，PA爲半徑的圓必過A，Q，C，
∴∠APQ=2∠ACQ，
∵PA=PQ，
∴∠PAQ=∠PQA=
（180°﹣∠APQ）=90°﹣∠ACQ，
∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ，
易知，∠BCP=∠BAP，
∴∠BCP=∠ACQ，
∵∠CBP=∠CAQ，
∴△BPC∽△AQC，
∴
=
，
在Rt△BCD中，sinα=
，
∴
=2sinα，
∴AQ=2BP•sinα．
【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和*質，等腰三角形的*質，全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，銳角三角函數，判斷出∠BCP=∠ACQ是解本題的關鍵．
知識點：各地中考
題型：解答題
