如圖，點P是x軸上一點，以P爲圓心的圓分別與x軸、y軸交於A、B、C、D四點，已知A（-3，0）、B（1，0）...

問題詳情：

如圖，點P是x軸上一點，以P爲圓心的圓分別與x軸、y軸交於A、B、C、D四點，已知A（-3，0）、B（1，0），過點C作⊙P的切線交x軸於點E．（1）求直線CE的解析式；（2）若點F是線段CE上一動點，點F的橫座標爲m，問m在什麼範圍時，直線FB與⊙P相交？（3）若直線FB與⊙P的另一個交點爲N，當點N是

ADB

的中點時，求點F的座標；（4）在（3）的條件下，CN交x軸於點M，求CM•CN的值．
試題*
練習冊*
在線課程
分析：（1）連PC，利用OC2=OA•OB，得OC=

3

，得C的座標，利用CE是⊙P的切線，求E的座標，設直線CE的解析式爲y=kx+b，將C、E兩點座標代入解析式，可得直線CE的解析式；（2）當0≤m≤3且m≠1時，直線FB與⊙P相交；（3）先求得N（-1，-2）設直線NB的解析式爲y=kx+b，把N、B兩點座標代入解析式，求直線NB的解析式．解兩直線表達式組成的方程組，求交點座標；（4）連接AC、BC，點N是

ADB

的中點，易*△AMC∽△NBC．所以

MC

BC

=

AC

NC

，即MC•NC=BC•AC．分別求相關線段的長得解．
解答：解：（1）連PC．∵A（-3，0），B（1，0），∴⊙P的直徑是4，∴半徑R=2，OP=1．又∵CD⊥AB，AB是直徑，∴OC2=OA•OB=3×1=3，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．                                           （1分）又∵⊙P的半徑是2，OP=1，∴∠PCO=30°．又CE是⊙P的切線，∴PC⊥CE．∴∠PEC=30°．∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．∴E（3，0）．                                             （2分）設直線CE的解析式爲y=kx+b，將C、E兩點座標代入解析式，得

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

．∴直線CE的解析式爲y=-

3

3

x+

3

①；（4分）（2）∵m=1時，直線FB與⊙P相切，∴m≠1．∵E（3，0），∴當0≤m≤3且m≠1時，直線FB與⊙P相交；（6分）（3）解法一：∵點N是

ADB

的中點，∴N（-1，-2）．設直線NB的解析式爲y=kx+b，把N、B兩點座標代入解析式，得

k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=1 b=-1

．∴直線NB的解析式爲y=x-1 ②．由①，②式得

y=x-1 y=- 3 3 x+ 3

，解得

x= 3 y= 3 -1

．∴F（

3

，

3

-1）．                                       （10分）解法二：過點F作FH⊥BE於H，∵N是

ADB

的中點，則∠ABN=∠FBE=45°，∴∠BFH=45°，∴BH=FH．由（1）知∠CEP=30°，∴HE=

3

FH．∵OE=OB+BH+HE，∴1+FH+

3

FH=3，FH=

3

-1，∴OH=OB+BH=1+（

3

-1）=

3

．∴F（

3

，

3

-1）；（4）連接AC、BC．∵點N是

ADB

的中點，∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，∴△AMC∽△NBC．∴

MC

BC

=

AC

NC

，∴MC•NC=BC•AC．∵OA=OE=3，∴△ACE爲等腰三角形．∴AC=CE=

OC

sin∠CEO

=

3

sin30°

=2

3

，BC=

OC2+OB2

=2．∴MC•NC=BC•AC=4

3

．                                      （14分）
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的*質來表示相應的線段之間的關係，再結合具體圖形的*質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．

【回答】

分析：（1）連PC，利用OC2=OA•OB，得OC=

3

，得C的座標，利用CE是⊙P的切線，求E的座標，設直線CE的解析式爲y=kx+b，將C、E兩點座標代入解析式，可得直線CE的解析式；（2）當0≤m≤3且m≠1時，直線FB與⊙P相交；（3）先求得N（-1，-2）設直線NB的解析式爲y=kx+b，把N、B兩點座標代入解析式，求直線NB的解析式．解兩直線表達式組成的方程組，求交點座標；（4）連接AC、BC，點N是

ADB

的中點，易*△AMC∽△NBC．所以

MC

BC

=

AC

NC

，即MC•NC=BC•AC．分別求相關線段的長得解．
解答：解：（1）連PC．∵A（-3，0），B（1，0），∴⊙P的直徑是4，∴半徑R=2，OP=1．又∵CD⊥AB，AB是直徑，∴OC2=OA•OB=3×1=3，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．                                           （1分）又∵⊙P的半徑是2，OP=1，∴∠PCO=30°．又CE是⊙P的切線，∴PC⊥CE．∴∠PEC=30°．∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．∴E（3，0）．                                             （2分）設直線CE的解析式爲y=kx+b，將C、E兩點座標代入解析式，得

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

．∴直線CE的解析式爲y=-

3

3

x+

3

①；（4分）（2）∵m=1時，直線FB與⊙P相切，∴m≠1．∵E（3，0），∴當0≤m≤3且m≠1時，直線FB與⊙P相交；（6分）（3）解法一：∵點N是

ADB

的中點，∴N（-1，-2）．設直線NB的解析式爲y=kx+b，把N、B兩點座標代入解析式，得

k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=1 b=-1

．∴直線NB的解析式爲y=x-1 ②．由①，②式得

y=x-1 y=- 3 3 x+ 3

，解得

x= 3 y= 3 -1

．∴F（

3

，

3

-1）．                                       （10分）解法二：過點F作FH⊥BE於H，∵N是

ADB

的中點，則∠ABN=∠FBE=45°，∴∠BFH=45°，∴BH=FH．由（1）知∠CEP=30°，∴HE=

3

FH．∵OE=OB+BH+HE，∴1+FH+

3

FH=3，FH=

3

-1，∴OH=OB+BH=1+（

3

-1）=

3

．∴F（

3

，

3

-1）；（4）連接AC、BC．∵點N是

ADB

的中點，∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，∴△AMC∽△NBC．∴

MC

BC

=

AC

NC

，∴MC•NC=BC•AC．∵OA=OE=3，∴△ACE爲等腰三角形．∴AC=CE=

OC

sin∠CEO

=

3

sin30°

=2

3

，BC=

OC2+OB2

=2．∴MC•NC=BC•AC=4

3

．                                      （14分）
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的*質來表示相應的線段之間的關係，再結合具體圖形的*質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．

知識點：

題型：