問題詳情：
如圖1，已知二次函數y=ax2+
x+c（a≠0）的圖象與y軸交於點A（0，4），與x軸交於點B、C，點C座標爲（8，0），連接AB、AC．
（1）請直接寫出二次函數y=ax2+
x+c的表達式；
（2）判斷△ABC的形狀，並說明理由；
（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C爲頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的座標；
（4）如圖2，若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB於點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的座標．
【回答】
解：（1）∵二次函數y=ax2+
x+c的圖象與y軸交於點A（0，4），與x軸交於點B、C，點C座標爲（8，0），
∴
，
解得
．
∴拋物線表達式：y=﹣
x2+
x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，則﹣
x2+
x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴點B的座標爲（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC=
=4
，
①以A爲圓心，以AC長爲半徑作圓，交x軸於N，此時N的座標爲（﹣8，0），
②以C爲圓心，以AC長爲半徑作圓，交x軸於N，此時N的座標爲（8﹣4
，0）或（8+4
，0）
③作AC的垂直平分線，交x軸於N，此時N的座標爲（3，0），
綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C爲頂點的三角形是等腰三角形時，點N的座標分別爲（﹣8，0）、（8﹣4
，0）、（3，0）、（8+4
，0）．
（4）如圖
，
設點N的座標爲（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸於點D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴
=
，
∵MN∥AC
∴
=
，
∴
=
，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=
（n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=
BN•OA﹣
BN•MD
=
（n+2）×4﹣
×
（n+2）2
=﹣
（n﹣3）2+5，
當n=3時，△AMN面積最大是5，
∴N點座標爲（3，0）．
∴當△AMN面積最大時，N點座標爲（3，0）．
知識點：各地中考
題型：綜合題
