問題詳情：
如圖，△ABC是等邊三角形，AB=
，點D是邊BC上一點，點H是線段AD上一點，連接BH、CH．當∠BHD=60°，∠AHC=90°時，DH=_____．
【回答】
【解析】
如圖，作AE⊥BH於E，BF⊥AH於F，利用等邊三角形的*質得AB=AC，∠BAC=60°，再*∠ABH=∠CAH，則可根據“AAS”*△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三邊的關係得到HE=
AH，AE=
AH，則CH=
AH，於是在Rt△AHC中利用勾股定理可計算出AH=2，從而得到BE=2，HE=1，AE=CH=
，BH=1，接下來在Rt△BFH中計算出HF=
，BF=
，然後*△CHD∽△BFD，利用相似比得到
=2，從而利用比例*質可得到DH的長．
【詳解】
作AE⊥BH於E，BF⊥AH於F，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，
∴sin∠AHE=
，HE=
AH，
∴AE=AH•sin60°=
AH，
∴CH=
AH，
在Rt△AHC中，AH2+（
AH）2=AC2=（
）2，解得AH=2，
∴BE=2，HE=1，AE=CH=
，
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，
在Rt△BFH中，HF=
BH=
，BF=
，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴
=2，
∴DH=
HF=
×
=
，
故*爲：
．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與*質、相似三角形的判定與*質、解直角三角形等，解題的關鍵是明確在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是透過作平行線構造相似三角形．
知識點：相似三角形
題型：填空題
