問題詳情：
爲建設美麗鄉村，*欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態休
閒園，園區內有一景觀湖EFG（圖中*影部分）．以AB所在直線爲x 軸，AB的垂直
平分線爲y 軸，建立平面直角座標系
（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數
模型．園區服務中心P在x 軸正半軸上，PO=
百米．
（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閒長廊OM，求OM的
最短長度；
（2）若在線段DE上設定一園區出口Q，試確定Q的位置，使通道PQ最短．
【回答】
解：（1）（方法一）設
，
，
則
，
當且僅當
，即
時取等號．
所以
的最小值爲
百米．
（方法二）設直線
（其中斜率
一定存在），代入
，
得
，化簡爲
．
設
則
，（
）
所以
，
令
，則
，
當且僅當
等號成立，即
時成立．
綜上，
的最短長度爲
百米．
（2）當直線
與邊界曲線相切時，
最短．
設切點爲
，由得
，
所以切線的方程爲
．
因爲
在
軸正半軸上，且PO=
，所以點座標爲
．
因爲切線過點
，所以
，
整理得
，解得
，或
．
因爲
，所以，此時切點爲
，切線方程爲
．
令
，得
，即點
在線段
上且距離
軸
百米．
答：當點
在線段
上且距離
軸
百米，通道PQ最短．
知識點：函數的應用
題型：解答題
