問題詳情:
如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E是A邊上一點,且AE=,點F是邊BC上的任意一點,把△BEF沿EF翻折,點B的對應點爲G,連接AG,CG,則四邊形AGCD的面積的最小值爲_____.
【回答】
【分析】
根據矩形ABCD中,AB=3,BC=4,可得AC=5,由AE=可得點F是邊BC上的任意位置時,點C始終在AC的下方,設點G到AC的距離爲h,要使四邊形AGCD的面積的最小,即h最小.所以點G在以點E爲圓心,BE爲半徑的圓上,且在矩形ABCD的內部.過點E作EH⊥AC,交圓E於點G,此時h最小.根據銳角三角函數先求得h的值,再分別求得三角形ACD和三角形ACG的面積即可得結論.
【詳解】
解:如圖,連接AC,
在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,
∠B=∠D=90°,
∴AC=5,
∵AB=3,AE=,
∴點F是邊BC上的任意位置時,點G始終在AC的下方,
設點G到AC的距離爲h,
S四邊形AGCD=S△ACD+S△ACG
=3×4+×5h,
=6+h.
要使四邊形AGCD的面積的最小,即h最小.
∵點G在以點E爲圓心,BE爲半徑的圓上,且在矩形ABCD的內部.
過點E作EH⊥AC,交圓E於點G,此時h最小.
在Rt△ABC中,sin∠BAC=,
在Rt△AEH中,AE=,
sin∠BAC=,
解得EH=AE=,
EG=BE=AB﹣AE=3﹣,
∴h=EH﹣EG=﹣(3﹣)=﹣3.
∴S四邊形AGCD=6+×(﹣3)
=.
故*爲:.
【點睛】
本題考查了翻折變換,解決本題的關鍵是確定滿足條件的點G的位置,運用相似、銳角三角函數等知識解決問題.
知識點:直*、*線、線段
題型:填空題