問題詳情：
如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分別是A1B1，A1A的中點，
(1)求
的模；
(2)求cos〈
，
〉的值；
(3)求*：A1B⊥C1M；
(4)求CB1與平面A1ABB1所成的角的餘弦值.
【回答】
如圖，建立空間直角座標系Cxyz.
(1)依題意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，
∴|
|＝
＝
.
(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)
∴
＝(1，－1,2)，
＝(0,1,2)，∴
·
＝3，
|
|＝
，||＝
，∴cos〈，〉
＝
＝
.
(3)依題意，得C1(0,0,2)、M(
，
，2)，
＝(－1,1，－2)，
＝(，
，0)，∴
·
＝－＋＋0＝0，∴
⊥
，∴A1B⊥C1M.
(4)方法一：取AB中點O，連結CO，B1O，則CO⊥平面A1ABB1，
∴∠CB1O是CB1與平面A1ABB1所成的角.
∵CO＝AB＝
，B1C＝
＝
，
∴B1O＝
＝
＝
＝
，
∴cos∠CB1O＝
＝
×
＝
.
即CB1與平面A1ABB1所成角的餘弦值是
.
方法二：設平面A1ABB1的一個法向量是n＝(x，y，z)，
∵
＝(1，－1,0)，
＝(0,0,2)，
解得
，取x＝y＝1，則n＝(1,1,0)，
直線CB1的方向向量是n1＝(0,1,2)，
∴cos〈n，n1〉＝
＝
＝
，
∴sin〈n，n1〉＝
＝，
∴直線CB1與平面A1ABB1所成角的餘弦值是
.
知識點：空間中的向量與立體幾何
題型：解答題
