問題詳情：
已知橢圓
：
的離心率爲
，且與拋物線
交於
，
兩點，
（
爲座標原點）的面積爲
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）如圖，點
爲橢圓上一動點（非長軸端點）
，
爲左、右焦點，
的延長線與橢圓交於
點，
的延長線與橢圓交於
點，求
面積的最大值．
【回答】
【詳解】（1）橢圓
與拋物線
交於
，
兩點，
可設
，
，
∵
的面積爲
，
∴
，解得
，∴
，
，
由已知得
，解得
，
，
，
∴橢圓
的方程爲
.
（2）①當直線
的斜率不存在時，不妨取
，
，
，故
；
②當直線
的斜率存在時，設直線
的方程爲
，
，
，
聯立方程
，化簡得
，
則
，
，
，
，
點
到直線
的距離
，
因爲
是線段
的中點，所以點
到直線
的距離爲
，
∴
∵
，又
，所以等號不成立.
∴
，
綜上，
面積的最大值爲
.
【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程後的運算能力，重視根與係數之間的關係、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
