問題詳情:
如圖,矩形OABC的兩邊在座標軸上,連接AC,
拋物線y=x2-4x-2經過A,B兩點.
(1)求A點座標及線段AB的長;
(2)若點P由點A出發以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動,1秒後點Q也由點A
出發以每秒7個單位的速度沿A-O-C-B的方向向點B移動,當其中一個點到達終點時
另一個點也停止移動,點P的移動時間爲t秒.
①當PQ⊥AC時,求t的值;
②當PQ∥AC時,對於拋物線對稱軸上一點H,當點H的縱座標滿足條件_________時,
∠HOQ<∠POQ.(直接寫出*)
【回答】
解:(1)拋物線,當x=0時,y=﹣2,∴A(0,﹣2)由於四邊形OABC是矩形,所以AB∥x軸,即A、B的縱座標相同;當時,,解得,∴B(4,﹣2). ∴AB=4.
(2)①由題意知:A點移動路程爲AP=t,Q點移動路程爲.當Q點在OA上時,即,時,如圖1,若PQ⊥AC,
則有Rt△QAP∽Rt△ABC.∴,即,
∴.∵,∴此時t值不合題意
當Q點在OC上時,即,時,
如圖2,過Q點作QD⊥AB.∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9.
∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t.
若PQ⊥AC,則有Rt△QDP∽Rt△ABC,
∴,即,∴.∵,∴符合題意.
當Q點在BC上時,即,時,
如圖3,若PQ⊥AC,過Q點作QG∥AC,則QG⊥PG,即∠GQP=90°.
∴∠QPB>90°.這與△QPB的內角和爲180°矛盾,
此時PQ不與AC垂直 綜上所述,當時,有PQ⊥AC.
②. (說明:用其它方法得到結果請相應給分)
知識點:相似三角形
題型:綜合題