問題詳情：
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱爲“河內寶塔問題”的遊戲，其玩法如下：如圖，設有n（
）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
現用an表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上至少所需要移動的次數，回答下列問題：
（I）求a1，a2，a3，並寫出an的一個遞推關係；
（II）記
，求和
（
）；
（提示：
）
（III）*：
．
【回答】
解：(1) 
………2分
事實上，要將
個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面
個圓盤轉移到B柱上，需要
次轉移，然後將最大的那個圓盤轉移到C柱上，需要一次轉移，再將
柱上的
個圓盤轉移到C柱上，需要次轉移，所以有
………4分
（II）由（1）得：
，
所以
…………6分
…………9分
（III）（II）得：
令
，則當
時
又
，所以對一切
有：
…………12分
（方法二：
，從第四項開始放縮求和）
另方面
恆成立，所以對一切
有
綜上所述有：
…
知識點：數列
題型：解答題
