問題詳情：
在平面直角座標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2﹣y2=1．
（1）過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）過點Q作直線l與雙曲線C1有且只有一個交點，求直線l的方程；
（3）設橢圓C2：4x2+y2=1．若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求*：O到直線MN的距離是定值．
【回答】
考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．
專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、*質與方程．
分析： （1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然後求出三角形的面積．
（2）過點Q作直線l與雙曲線C1有且只有一個交點，直線l與雙曲線的漸近線平行，可得結論；
（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離爲．當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程爲：y=kx，（顯然|k|＞），推出直線OM的方程爲y=x，利用，求|ON|2=．同理|OM|2=，設O到直線MN的距離爲d，透過（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直線MN的距離是定值．
解答： 解：（1）雙曲線C1：2x2﹣y2=1左頂點A（﹣，0），
漸近線方程爲：y=±x．
過A與漸近線y=x平行的直線方程爲y=（x+），即y=x+1，
所以，解得．
所以所求三角形的面積爲S=|OA||y|=；
（2）由題意，直線的斜率存在，
∵過點Q作直線l與雙曲線C1有且只有一個交點，
∴直線l與雙曲線的漸近線平行，
∵漸近線的斜率爲±，
∴直線l的方程爲y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+；
（3）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離爲．
當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程爲：y=kx，（顯然|k|＞），
則直線OM的方程爲y=x，由得，
所以|ON|2=．
同理|OM|2=，
設O到直線MN的距離爲d，
因爲（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以=+=3，
即d=．
綜上，O到直線MN的距離是定值．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
