問題詳情：
如圖①，在正方形ABCD中，AB＝6，M爲對角線BD上任意一點（不與B、D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交線段AB於點N
（1）求*：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求*：AN＝4BN；
（3）如圖②，連接NC交BD於點G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．
【回答】
解：（1）如圖①，過M分別作ME∥AB交BC於E，MF∥BC交AB於F，
則四邊形BEMF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四邊形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴
＝
＝
＝
，
∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，
∴AN＝4BN；
（3）如圖②，把△DMC繞點C逆時針旋轉90°得到△BHC，連接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH，∠DCM＝∠BCH＝45°，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
設BG＝3a，則MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，則MD＝4a，
∵正方形ABCD的邊長爲6，
∴BD＝6
，
∴DM+MG+BG＝12a＝6
，
∴a＝
，
∴BG＝
，MG＝
，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGC∽△NGB，
∴
＝
，
∴CG•NG＝BG•MG＝
．
知識點：各地中考
題型：解答題
