問題詳情：
如圖①，已知直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C，以OA、OC爲邊在第一象限內作長方形OABC．
（1）求點A、C的座標；
（2）將△ABC對摺，使得點A的與點C重合，摺痕交AB於點D，求直線CD的解析式（圖②）；
（3）在座標平面內，是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，請求出所有符合條件的點P的座標；若不存在，請說明理由．
【回答】
（1）A（2，0）；C（0，4）；（2）
；（3）存在，P的座標爲（0，0）或
或
.
【分析】
（1）已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C，即可求得A和C的座標；
（2）根據題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點座標，最後即可求出CD的解析式；
（3）將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的座標．
【詳解】
（1）（1）令y=0，則-2x+4=0，解得x=2， ∴A（2，0）， 令x=0，則y=4， ∴C（0，4）；
（2）由摺疊知：CD=AD．設AD=x，則CD=x，BD=4-x，
根據題意得：（4-x）2+22=x2解得：x=
此時，AD=
，D(2，
)
設直線CD爲y=kx+4，把D(2，
)代入得
=2k+4
解得：k=-
∴該直線CD解析式爲y=-
x+4．
（3）①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）
②當點P在第一象限時，如圖，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD於點Q，
在Rt△ADP中，
AD=
，PD=BD=4-
=
，AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得：
PQ=3
∴PQ=
∴xP=2+
=
，
把x=
代入y=-
x+4得y=
此時P(
，
)
（也可透過Rt△APQ勾股定理求AQ長得到點P的縱座標）
③當點P在第二象限時，如圖
同理可求得：CQ=
∴OQ=4-
=
此時P(-
，
)
綜合得，滿足條件的點P有三個，
分別爲：P1（0，0）；P2(
，
)；P3(-
，
)．
考點：一次函數綜合題．
知識點：一次函數
題型：解答題
