問題詳情：
已知正方體
棱長爲
，如圖，
爲
上的動點，
平面
.下面說法正確的是（ ）
A．直線
與平面
所成角的正弦值範圍爲
B．點
與點
重合時，平面
截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大
C．點
爲
的中點時，若平面
經過點
，則平面
截正方體所得截面圖形是等腰梯形
D．己知
爲
中點，當
的和最小時，
爲
的中點
【回答】
AC
【解析】
【分析】
以點
爲座標原點，
、
、
所在直線分別爲
、
、
軸建立空間直角座標系
，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；*出
平面
，分別取棱
、
、
、
、
、
的中點
、
、
、
、
、
，比較
和六邊形
的周長和麪積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面
與棱
、
的交點
、
，判斷四邊形
的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形
與矩形
延展爲一個平面，利用
、
、
三點共線得知
最短，利用平行線分線段成比例定理求得
，可判斷D選項的正誤.
【詳解】
對於A選項，以點
爲座標原點，
、
、
所在直線分別爲
、
、
軸建立空間直角座標系
，則點
、
、設點
，
平面
，則
爲平面
的一個法向量，且
，
，
，
所以，直線
與平面
所成角的正弦值範圍爲
，A選項正確；
對於B選項，當
與
重合時，連接
、
、
、
，
在正方體
中，
平面
，
平面
，
，
四邊形
是正方形，則
，
，
平面
，
平面
，
，同理可*
，
，
平面
，
易知
是邊長爲
的等邊三角形，其面積爲
，周長爲
.
設
、
、
、
、
、
分別爲棱
、
、
、
、
、
的中點，
易知六邊形
是邊長爲
的正六邊形，且平面
平面
，
正六邊形
的周長爲
，面積爲
，
則
的面積小於正六邊形
的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；
對於C選項，設平面
交棱
於點
，點
，
，
平面
，
平面
，
，即
，得
，
，
所以，點
爲棱
的中點，同理可知，點
爲棱
的中點，則
，
，
而
，
，
且
，
由空間中兩點間的距離公式可得
，
，
，
所以，四邊形
爲等腰梯形，C選項正確；
對於D選項，將矩形
與矩形
延展爲一個平面，如下圖所示：
若
最短，則
、
、
三點共線，
，
，
，所以，點
不是棱
的中點，D選項錯誤.
故選：AC.
【點睛】
本題考查線面角正弦值的取值範圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計算能力，屬於難題.
知識點：空間中的向量與立體幾何
題型：選擇題
