問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,A、B爲x軸上兩點,C、D爲y軸上的兩點,經過點A、C、B的拋物線的一部分c1與經過點A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線成爲“蛋線”.已知點C的座標爲(0,),點M是拋物線C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的座標;
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當△BDM爲直角三角形時,求m的值.
【回答】
解:(1)y=mx2﹣2mx﹣3m,
=m(x﹣3)(x+1),
∵m≠0,
∴當y=0時,x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
(2)設C1:y=ax2+bx+c,將A,B,C三點座標代入得:
,
解得:,
故C1:y=x2﹣x﹣;
如圖,過點P作PQ∥y軸,交BC於Q,
由B、C的座標可得直線BC的解析式爲y=x﹣,
設p(x, x2﹣x﹣),則Q(x, x﹣),PQ=x﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣x2+x,
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OB=×3×(﹣x2+x)=﹣+x=﹣(x﹣)2+,
當x=時,Smax=,
∴P()
(3)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣1)2﹣4m,
頂點M座標(1,﹣4m),
當x=0時,y=﹣3m,
∴D(0,﹣3m),B(3,0),
∴DM2=(0﹣1)2+(﹣3m+4m)2=m2+1,
MB2=(3﹣1)2+(0+4m)2=16m2+4,
BD2=(3﹣0)2+(0+3m)2=9m2+9,
當△BDM爲直角三角形時,分兩種情況:
①當∠BDM=90°時,有DM2+BD2=MB2,
解得m1=﹣1,m2=1(∵m<0,∴m=1捨去);
②當∠BMD=90°時,有DM2+MB2=BD2,
解得m1=﹣,m2=(捨去),
綜上,m=﹣1或﹣時,△BDM爲直角三角形.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題