問題詳情:
如圖,正方形紙片ABCD中,對角線AC、BD交於點O,摺疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點A恰好與BD上的點F重合,展開後摺痕DE分別交AB、AC於點E、G,連結GF,給出下列結論:①∠ADG=22.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;⑥若S△OGF=1,則正方形ABCD的面積是6+4,其中正確的結論個數爲( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【回答】
B【考點】四邊形綜合題.
【分析】①由四邊形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°,又由摺疊的*質,可求得∠ADG的度數;
②由AE=EF<BE,可得AD>2AE;
③由AG=GF>OG,可得△AGD的面積>△OGD的面積;
④由摺疊的*質與平行線的*質,易得△EFG是等腰三角形,即可*得AE=GF;
⑤易*得四邊形AEFG是菱形,由等腰直角三角形的*質,即可得BE=2OG;
⑥根據四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF,AB=GF,再由∠BAO=45°,∠GOF=90°可得出△OGF時等腰直角三角形,由S△OGF=1求出GF的長,進而可得出BE及AE的長,利用正方形的面積公式可得出結論.
【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠GAD=∠ADO=45°,
由摺疊的*質可得:∠ADG=∠ADO=22.5°,
故①正確.
∵由摺疊的*質可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,
∴AE=EF<BE,
∴AE<AB,
∴>2,
故②錯誤.
∵∠AOB=90°,
∴AG=FG>OG,△AGD與△OGD同高,
∴S△AGD>S△OGD,
故③錯誤.
∵∠EFD=∠AOF=90°,
∴EF∥AC,
∴∠FEG=∠AGE,
∵∠AGE=∠FGE,
∴∠FEG=∠FGE,
∴EF=GF,
∵AE=EF,
∴AE=GF,
故④正確.
∵AE=EF=GF,AG=GF,
∴AE=EF=GF=AG,
∴四邊形AEFG是菱形,
∴∠OGF=∠OAB=45°,
∴EF=GF=OG,
∴BE=EF=×OG=2OG.
故⑤正確.
∵四邊形AEFG是菱形,
∴AB∥GF,AB=GF.
∵∠BAO=45°,∠GOF=90°,
∴△OGF時等腰直角三角形.
∵S△OGF=1,
∴OG2=1,解得OG=,
∴BE=2OG=2,GF===2,
∴AE=GF=2,
∴AB=BE+AE=2+2,
∴S正方形ABCD=AB2=(2+2)2=12+8,故⑥錯誤.
∴其中正確結論的序號是:①④⑤.
故選B.
【點評】此題考查的是四邊形綜合題,涉及到正方形的*質、摺疊的*質、等腰直角三角形的*質以及菱形的判定與*質等知識.此題綜合*較強,難度較大,注意掌握摺疊前後圖形的對應關係,注意數形結合思想的應用.
知識點:各地中考
題型:選擇題