問題詳情：
如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上的一點，AE⊥EF，下列結論：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【回答】
B【考點】相似三角形的判定與*質；正方形的*質．
【分析】由正方形的*質和三角函數得出∠BAE＜30°，①不正確；由題中條件可得△CEF∽△BAE，進而得出對應線段成比例，得出②正確，CF=
FD，③不正確；進而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正確，即可得出題中結論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE=
BC=
AB，
∵AE＞AB，
∴sin∠BAE=
＜
，
∴∠BAE＜30°，①不正確；
∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，
∴
=
=
，
∴CE•BE=AB•CF，CF=
BE=
CD，
∵BE=CE，CF=
FD，
∴CE2=AB•CF，②正確，③不正確；
由△CEF∽△BAE可得
，
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF=∠BAE，
又∠B=∠C=90°．
∴△ABE∽△AEF，
∴④正確；
正確的有2個，
故選：B．
【點評】本題主要考查了正方形的*質、相似三角形的判定及*質、三角函數；熟練掌握正方形的*質，*三角形相似是解決問題的關鍵．
知識點：相似三角形
題型：選擇題
