問題詳情：
如圖所示，正方體
的棱長爲1，
分別是棱
的中點，過直線
的平面分別與棱
交於
，設
求:
(1)求
與面
所成的角的大小；
(2)求四棱錐
的體積
並討論它的單調*；
(3)若點
是正方體棱上一點，試*:滿足
成立的點的個數爲6.
【回答】
(1)
(2) 
,不具有單調* (3) *見解析.
【分析】
(1) 作
於H,連接
,則
即爲
與面
所成的角.根據線面關係可判定
爲直角三角形,結合棱長,即可求得
的大小.
(2) 連接
可知四棱錐
的體積爲定值,與
的值無關,因而
沒有單調*.
(3) 根據題意可知, 
, 
所以P在以
、
爲焦點,長軸爲2的橢圓上.即橢圓與正方體各棱的交點可滿足等式成立.
【詳解】
(1) 作
於H,連接
如下圖所示:
則
,
即爲
與面
所成的角
因爲
所以
爲等腰直角三角形
所以
(2) 連接
則四棱錐
可以分割成兩個小的三棱錐,即
和
,如下圖所示:
因爲
所以
到平面
的距離爲定值,同理
到平面
的距離也爲定值
且
、
到平面
的距離相等
即
因爲
爲常數函數，所以不具有單調*
(3) 由題意可知, 
, 
所以P在以
、
爲焦點,長軸爲2的橢圓上.
,所以
同時P爲正方體棱上的一點
所以P爲正方體的棱與橢圓的交點
由正方體*質可知符合要求的點P在
,
,
,
,
,
上各有一點
所以共有6個點
結論得*.
【點睛】
本題考查了空間結構體線面夾角的求法,四棱錐體積的求法,空間幾何與解析幾何的綜合,具有很強的綜合*,屬於難題.
知識點：空間幾何體
題型：解答題
