問題詳情：
已知：點
、
、
不在同一條直線上，
.
（1）如圖1，當
，
時，求
的度數；
（2）如圖2，
、
分別爲
、
的平分線所在直線，試探究
與
的數量關係；
（3）如圖3，在（2）的前提下，有
，
，直接寫出
的值.
【回答】
(1)∠ACB＝120°；(2)2∠AQB+∠C＝180°；(3)∠DAC：∠ACB：∠CBE＝1：2：2．
【解析】
（1）首先過C作AD的平行線CE，再根據平行的*質計算即可.
（2）首先過點Q作QM∥AD，再根據已知平行線的*質即可，計算的2∠AQB+∠C＝180°.
（3）根據平行線的*質和角平分線的*質首先計算出∠DAC、∠ACB、∠CBE，再根據角的度數求比值.
【詳解】
(1)在圖①中，過點C作CF∥AD，則CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣(∠B﹣∠A)＝120°．
(2)在圖2中，過點Q作QM∥AD，則QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD＝
∠CAD，∠EBQ＝
∠CBE，
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝
(∠CBE﹣∠CAD)．
∵∠C＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180°﹣2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C＝180°．
(3)∵AC∥QB，
∴∠AQB＝∠CAP＝
∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝
∠CBE，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣
∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，
∴∠CAD＝
∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．
【點睛】
本題主要考查平行線的*質，再結合考查角平分線的*質，關鍵在於做出合理的輔助線.
知識點：角
題型：解答題
