問題詳情:
已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點A(1,0),B(3,0)兩點,與y軸交於點C,OC=3.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的座標;
(2)過點A作AM⊥BC,垂足爲M,求*:四邊形ADBM爲正方形;
(3)點P爲拋物線在直線BC下方圖形上的一動點,當△PBC面積最大時,求點P的座標;
(4)若點Q爲線段OC上的一動點,問:AQ+QC是否存在最小值?若存在,求岀這個最小值;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)函數的表達式爲:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),
即:3a=3,解得:a=1,
故拋物線的表達式爲:y=x2﹣4x+3,
則頂點D(2,﹣1);
(2)∵OB=OC=4,∴∠OBC=∠OCB=45°,
AM=MB=ABsin45°==AD=BD,
則四邊形ADBM爲菱形,而∠AMB=90°,
∴四邊形ADBM爲正方形;
(3)將點B、C的座標代入一次函數表達式:y=mx+n並解得:
直線BC的表達式爲:y=﹣x+3,
過點P作y軸的平行線交BC於點H,
設點P(x,x2﹣4x+3),則點H(x,﹣x+3),
則S△PBC=PH×OB=(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),
∵﹣<0,故S△PBC有最大值,此時x=,
故點P(,﹣);
(4)存在,理由:
如上圖,過點C作與y軸夾角爲30°的直線CH,過點A作AH⊥CH,垂足爲H,
則HQ=CQ,
AQ+QC最小值=AQ+HQ=AH,
直線HC所在表達式中的k值爲,直線HC的表達式爲:y=x+3…①
則直線AH所在表達式中的k值爲﹣,
則直線AH的表達式爲:y=﹣x+s,將點A的座標代入上式並解得:
則直線AH的表達式爲:y=﹣x+…②,
聯立①②並解得:x=,
故點H(,),而點A(1,0),
則AH=,
即:AQ+QC的最小值爲.
知識點:各地中考
題型:綜合題