問題詳情：
拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（﹣1，0），B（
，0），且與y軸相交於點C．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）求∠ACB的度數；
（3）設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DE⊥AC，當△DCE與△AOC相似時，求點D的座標．
【回答】
解：（1）當x=0，y=3，
∴C（0，3）．
設拋物線的解析式爲y=a（x+1）（x﹣
）．
將C（0，3）代入得：﹣
a=3，解得：a=﹣2，
∴拋物線的解析式爲y=﹣2x2+x+3．
（2）過點B作BM⊥AC，垂足爲M，過點M作MN⊥OA，垂足爲N．
∵OC=3，AO
=1，
∴tan∠CAO=3．
∴直線AC的解析式爲y=3x+3．
∵AC⊥BM，
∴BM的一次項係數爲﹣
．
設BM的解析式爲y=﹣
x+b，將點B的座標代入得：﹣
×
+b=0，解得b=
．
∴BM的解析式爲y=﹣x+
．
將y=3x+3與y=﹣
x+
聯立解得：x=﹣
，y=
．
∴MC=BM═
=
．
∴△MCB爲等腰直角三角形．
∴∠ACB=45°．
（3）如圖2所示：延長CD，交x軸與點F．
∵∠ACB=45°，點D是第一象限拋物線上一點，
∴∠ECD＞45°．
又∵△DCE與△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，
∴∠CAO=∠ECD．
∴CF=AF．
設點F的座標爲（a，0），則（a+1）2=32+a2，解得a=4．
∴F
（4，0）．
設CF的解析式爲y=kx+3，將F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣
．
∴CF的解析式爲y=﹣
x+3．
將y=﹣
x+3與y=﹣2x2+x+3聯立：解得：x=0（捨去）或x=
．
將x=
代入y=﹣x+3得：y=
．
∴D（，
）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
