問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx﹣經過點A(1,0)和點B(5,0),與y軸交於點C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)以點A爲圓心,作與直線BC相切的⊙A,求⊙A的半徑;
(3)在直線BC上方的拋物線上任取一點P,連接PB,PC,請問:△PBC的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值的此時點P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
解答: 解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣經過點A(1,0)和點B(5,0),
∴把A、B兩點座標代入可得,解得,
∴拋物線解析式爲y=﹣x2+2x﹣;
(2)過A作AD⊥BC於點D,如圖1,
∵⊙A與BC相切,
∴AD爲⊙A的半徑,
由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),
∴OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=,
在Rt△OBC中,由勾股定理可得BC===,
∵∠ADB=∠BOC=90°,∠ABD=∠CBO,
∴△ABD∽△CBO,
∴=,即=,解得AD=,
即⊙A的半徑爲;
(3)∵C(0,﹣),
∴可設直線BC解析式爲y=kx﹣,
把B點座標代入可求得k=,
∴直線BC的解析式爲y=x﹣,
過P作PQ∥y軸,交直線BC於點Q,交x軸於點E,如圖2,
設P(x,﹣x2+2x﹣),則Q(x,x﹣),
∴PQ=(﹣x2+2x﹣)﹣(x﹣)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ(OE+BE)=PQ•OB=PQ=﹣(x﹣)2+,
∴當x=時,S△PBC有最大值,此時P點座標爲(,),
∴當P點座標爲(,)時,△PBC的面積有最大值.
知識點:各地中考
題型:綜合題