（2010•奉賢區二模）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，過點A作直線MN⊥AC，...

問題詳情：

（2010•奉賢區二模）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，過點A作直線MN⊥AC，點E是直線MN上的一個動點，（1）如圖1，如果點E是*線AM上的一個動點（不與點A重合），連接CE交AB於點P．若AE爲x，AP爲y，求y關於x的函數解析式，並寫出它的定義域；（2）在*線AM上是否存在一點E，使以點E、A、P組成的三角形與△ABC相似，若存在求AE的長，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，過點B作BD⊥MN，垂足爲D，以點C爲圓心，若以AC爲半徑的⊙C與以ED爲半徑的⊙E相切，求⊙E的半徑．
試題*
練習冊*
在線課程
【*】分析：（1）首先*AM∥BC，△BCP∽△APE，可得AE：BC=AP：BP，然後根據題意代入相關數值即得y關於x的函數解析式．（2）先假設存在點E，使△ABC∽△EAP，則有AB：BC=AE：AP，把第一問的結果代入可得到一個一元二次方程，解此方程看結果是否符合題意，合題意，則存在此點，否則不存在此點．（3）此問要分情況討論：當點E在*線AD上，⊙C與⊙E外切時；當點E在線段AD上，⊙C與⊙E外切時；當點E在*線DA上，⊙C與⊙E內切時；根據解直角三角形分別求解，不符合題意的解捨去．解答：解：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，∴=，（1分）∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）∵AE=x，AP=y，∴=，∴y=（x＞0）；（4分）（2）假設在*線AM上存在一點E，使以點E、A、P組成的三角形與△ABC相似；∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，∴△ABC∽△EAP，（6分）∴=（7分）∴=解得：x1=，x2=0（捨去）（8分）∴當AE的長爲時，△ABC∽△EAP；（3）∵⊙C與⊙E相切，AE=x①當點E在*線AD上，⊙C與⊙E外切時，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2∴x2+82=（x+2）2解得：x=15∴⊙E的半徑爲9．（10分）②當點E在線段AD上，⊙C與⊙E外切時，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2，∴x2+82=（14-x）2解得：x=∴⊙E的半徑爲．（12分）③當點E在*線DA上，⊙C與⊙E內切時，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2∴x2+82=（x-2）2解得：x=-15（捨去），∴內切不成立（14分）∴當⊙C與⊙E相切時，⊙E的半徑爲9或．點評：此題難度較大，綜合考查函數、方程與圓的相切，三角形相似的判定與*質、平行線*質等知識．

【回答】

【*】分析：（1）首先*AM∥BC，△BCP∽△APE，可得AE：BC=AP：BP，然後根據題意代入相關數值即得y關於x的函數解析式．（2）先假設存在點E，使△ABC∽△EAP，則有AB：BC=AE：AP，把第一問的結果代入可得到一個一元二次方程，解此方程看結果是否符合題意，合題意，則存在此點，否則不存在此點．（3）此問要分情況討論：當點E在*線AD上，⊙C與⊙E外切時；當點E在線段AD上，⊙C與⊙E外切時；當點E在*線DA上，⊙C與⊙E內切時；根據解直角三角形分別求解，不符合題意的解捨去．解答：解：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，∴=，（1分）∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）∵AE=x，AP=y，∴=，∴y=（x＞0）；（4分）（2）假設在*線AM上存在一點E，使以點E、A、P組成的三角形與△ABC相似；∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，∴△ABC∽△EAP，（6分）∴=（7分）∴=解得：x1=，x2=0（捨去）（8分）∴當AE的長爲時，△ABC∽△EAP；（3）∵⊙C與⊙E相切，AE=x①當點E在*線AD上，⊙C與⊙E外切時，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2∴x2+82=（x+2）2解得：x=15∴⊙E的半徑爲9．（10分）②當點E在線段AD上，⊙C與⊙E外切時，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2，∴x2+82=（14-x）2解得：x=∴⊙E的半徑爲．（12分）③當點E在*線DA上，⊙C與⊙E內切時，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2∴x2+82=（x-2）2解得：x=-15（捨去），∴內切不成立（14分）∴當⊙C與⊙E相切時，⊙E的半徑爲9或．點評：此題難度較大，綜合考查函數、方程與圓的相切，三角形相似的判定與*質、平行線*質等知識．

知識點：

題型：