問題詳情：
已知點A(−2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積爲−
.記M的軌跡爲曲線C.
（1）求C的方程，並說明C是什麼曲線；
（2）過座標原點的直線交C於P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足爲E，連結QE並延長交C於點G.
（i）*：
是直角三角形；
（ii）求
面積的最大值.
【回答】
（1）詳見解析（2）詳見解析
【分析】
（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積爲−
，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；
（2）（i）設出直線
的方程，與橢圓方程聯立，求出P，Q兩點的座標，進而求出點
的座標，求出直線
的方程，與橢圓方程聯立，利用根與係數關係求出
的座標，再求出直線
的斜率，計算
的值，就可以*出
是直角三角形；
（ii）由（i）可知
三點座標，
是直角三角形，求出
的長，利用面積公式求出
的面積，利用導數求出面積的最大值.
【詳解】
（1）直線
的斜率爲
，直線
的斜率爲
，由題意可知：
，所以曲線C是以座標原點爲中心，焦點在
軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程爲
；
（2）（i）設直線
的方程爲
,由題意可知
,直線
的方程與橢圓方程
聯立,即
或
,點P在第一象限，所以
，因此點
的座標爲
直線
的斜率爲
，可得直線
方程：
，與橢圓方程聯立，
，消去
得，
（*），設點
，顯然
點的橫座標
和
是方程（*）的解
所以有
，代入直線
方程中，得
，所以點
的座標爲
，
直線
的斜率爲; 
,
因爲
所以
，因此
是直角三角形；
（ii）由（i）可知：
，
的座標爲
，
，
,
,因爲
，所以當
時，
，函數
單調遞增，當
時，
，函數
單調遞減，因此當
時，函數
有最大值，最大值爲
.
【點睛】
本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關係，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數學運算能力，考查了利用導數求函數最大值問題.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
