問題詳情:
已知圓A:x2+y2+2x-15=0和定點B(1,0),M是圓A上任意一點,線段MB的垂直平分線交MA於點N,設點N的軌跡爲C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直線y=k(x-1)與曲線C相交於P,Q兩點,試問:在x軸上是否存在定點R,使當k變化時,總有∠ORP=∠ORQ?若存在,求出點R的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
(Ⅰ);(Ⅱ)存在定點R(4,0)滿足題設.
【分析】
(Ⅰ)求出圓心A,透過|NM|=|NB|,推出點N的軌跡是以A,B爲焦點的橢圓,設其標準方程,求出a,c,即可求解橢圓方程.(Ⅱ)設存在點R(t,0)滿足題設,聯立直線y=k(x﹣1)與橢圓方程,設P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韋達定理,透過直線RP與直線RQ的斜率之和爲零,即可得到t的值.
【詳解】
解:(Ⅰ)圓A:(x+1)2+y2=16,圓心A(-1,0),由已知得|NM|=|NB|,
又|NM|+|NB|=4,所以|NA|+|NB|=4>|AB|=2,
所以由橢圓的定義知點N的軌跡是以A,B爲焦點的橢圓,
設其標準方程C:,則2a=4,2c=2,所以a2=4,b2=3,
所以曲線C:;
(Ⅱ)設存在點R(t,0)滿足題設,聯立直線y=k(x-1)與橢圓方程,
消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),
則由韋達定理得①,②,
由題設知OR平分∠PRQ⇔直線RP與直RQ的傾斜角互補,
即直線RP與直線RQ的斜率之和爲零,即,即,即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0③,
把①、②代入③並化簡得,即(t-4)k=0④,
所以當k變化時④成立,只要t=4即可,所以存在定點R(4,0)滿足題設.
【點睛】
本題考查利用橢圓定義求軌跡問題,考查直線與橢圓的位置關係的綜合應用,考查存在*問題的處理方法,考查分析問題解決問題的能力.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題