問題詳情:
如圖,橢圓C0:=1(a>b>0,a、b爲常數),動圓C1:x2+y2=t,b<t1<a.點A1、A2分別爲C0的左、右頂點,C1與C0相交於A、B、C、D四點.
(1) 求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程;
(2) 設動圓C2:x2+y2=t與C0相交於A′,B′,C′,D′四點,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等,*:t+t爲定值.
【回答】
(1) 解:設A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),
則直線A1A的方程爲y= (x+a),①
直線A2B的方程爲y= (x-a).②
由①②得y2= (x2-a2).③
由點A(x1,y1)在橢圓C0上,故+=1.
從而y=,代入③得-=1(x<-a,y<0).
(2) *:設A′(x2,y2),由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等,得4|x1||y1|=4|x2||y2|,故xy=xy.因爲點A,A′均在橢圓上,所以.由t1≠t2,知x1≠x2,所以x+x=a2,從而y+y=b2,因此t+t=a2+b2爲定值.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題