如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交於點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB...

問題詳情：

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交於點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   （1）求*：PC是⊙O的切線；

   （2）求∠P的度數；

   （3）點M是弧AB的中點，CM交AB於點N，AB=4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積。

 

【回答】

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直徑

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半徑                    

  ∴PC是⊙O的切線          ………………………4分

        （2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

m

D

         ∴∠A=∠ACO=∠P          ………………5分

         ∵∠A＋∠ACO＋∠PCO＋∠P=180°

 ∴3∠P=90°                

         ∴∠P=30°            …………………………6分

(3) ∵點M是半圓O的中點   ∴∠BCM=45°………7分

 由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=

AB=2 ……8分

作BD⊥CM於D，∴CD=BD=

  ∴DM=

 

∴CM=

            …………………9分

∴S△BCM=

   ………………10分

∵∠BOC=2∠A=60°   ∴弓形BmC的面積=

  …………11分

∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積爲

  …………12分

（注：其它解法，請參照給分）

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題