問題詳情:
如圖,分別過橢圓E:的左、右焦點F1,F2的動直線l1,l2:相交於點P,與橢圓E分別交於A、B和C、D四點,直線OA、OB、OC、OD的斜率k1,k2,k3,k4滿足k1+k2=k3+k4。已知當l1與x軸重合時,|AB|=2,|CD|=。
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在定點M,N,使得|PM|+|PN|爲定值?若存在,求出點M、N的座標及定值;若不存在,請說明理由。
【回答】
解:(1)當l1與x軸重合時,k1+k2=k3+k4=0,即k3=-k4,
∴l2垂直於x軸,得|AB|=2a=2,|CD|==,
得a=,b=,∴橢圓E的方程爲+=1. ------------------------------------------- 4分
(2)焦點F1,F2座標分別爲(-1,0),(1,0),
當直線l1或l2斜率不存在時,P點座標爲(-1,0)或(1,0),-------------------------------------- 5分
當直線l1,l2斜率存在時,設斜率分別爲m1,m2,設A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(2+3m)x2+6mx+3m-6=0,
∴x1+x2=-,x1x2=,
k1+k2=+=m1=m1=m1=-,- 7分
同理k3+k4=-,--------------------------------------------------------------------------------- 8分
∵k1+k2=k3+k4,∴=,即(m1m2+2)(m2-m1)=0,
由題意知m1≠m2,∴m1m2+2=0----------------------------------------------------------------------- 9分
設P(x,y),則·+2=0,即+x2=1(x≠±1),---------------------------------------- 10分
又當直線l1或l2斜率不存在時,P點座標爲(-1,0)或(1,0)也滿足此方程,
∴點P(x,y)在橢圓+x2=1上,
存在點M(0,-1)和點N(0,1),使得|PM|+|PN|爲定值,定值爲2.------------------------ 12分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題