問題詳情：
己知橢圓C：
的左右焦點分別爲F1，F2，直線l：y＝kx+m與橢圓C交於A，B兩點．O爲座標原點．
（1）若直線l過點F1，且｜AB｜＝
，求k的值；
(2)若以AB爲直徑的圓過原點O，試探究點O到直線AB的距離是否爲定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由。
【回答】
（1）因爲直線l過點F1(-2,0)，所以m=2k即直線l的方程爲y=k(x+2).
設A(x1，y1)，B(x2，y2).
聯立
整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．
∴ x1+x2=
，x1x2=
． 由弦長公式|AB|=
，
代入整理得
，解得k2=1.∴
．
（2）設直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯立
整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
∴ x1+x2=
，x1x2=
． 以AB爲直徑的圓過原點O，即
．
∴ 
x1x2+ y1y2=0．將y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 將x1+x2=
，x1x2=
代入，
整理得3m2=8k2+8．設點O到直線AB的距離爲d，
於是d2=
， 故O到直線AB的距離是定值爲
．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
