問題詳情：
已知橢圓
,直線
不過原點
且不平行於座標軸，
與
有兩個交點
，
，線段
的中點爲
．
（Ⅰ）*：直線
的斜率與
的斜率的乘積爲定值；
（Ⅱ）若
過點
，延長線段
與
交於點
，四邊形
能否爲平行四邊形？若能，求此時
的斜率，若不能，說明理由．
【回答】
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）能，
或
．
【解析】（1）設直線
，直線方程與橢圓方程聯立，根據韋達定理求根與係數的關係，並表示直線
的斜率，再表示
；
（2）第一步由 (Ⅰ)得
的方程爲
．設點
的橫座標爲
，直線
與橢圓方程聯立求點
的座標，第二步再整理點M的座標，如果能構成平行四邊形，只需
，如果有k值，並且滿足
，
的條件就說明存在，否則不存在.
試題解析：解：(1)設直線
，
，
，
．
∴由
得
，
即直線
斜率與
的斜率的乘積爲定值
．
（2）四邊形
能爲平行四邊形．
∵直線
過點
，∴
不過原點且與
有兩個交點的充要條件是
，
由 (Ⅰ)得
的方程爲
．設點
的橫座標爲
．
∴由
得
，即
將點
的座標代入直線
的方程得
，因此
．
四邊形
爲平行四邊形當且僅當線段
與線段
互相平分，
∴
．解得
，
．
，
，
，
∴當
的斜率爲
或
時，四邊形
爲平行四邊形．
考點：直線與橢圓的位置關係的綜合應用
【一題多解】第一問涉及中點弦，當直線與圓錐曲線相交時，點M是弦的中點，（1）知道中點座標，求直線的斜率，或知道直線斜率求中點座標的關係，或知道求直線斜率與直線
斜率的關係時，也可以選擇點差法，設
，代入橢圓方程
，兩式相減
，化簡爲
，兩邊同時除以
得
,即得到結果，
（2）對於用座標法來解決幾何*質問題，那麼就要求首先看出幾何關係滿足什麼條件，其次用座標表示這些幾何關係，本題的關鍵就是如果是平行四邊形那麼對角線互相平分，即
，分別用方程聯立求兩個座標，最後求斜率.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
