問題詳情：
如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝
，點D爲BC邊上的動點（點D不與點B，C重合）．以D爲頂點作∠ADE＝∠B，*線DE交AC邊於點E，過點A作AF⊥AD交*線DE於點F，連接CF．
（1）求*：△ABD∽△DCE；
（2）當DE∥AB時（如圖2），求AE的長；
（3）點D在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF＝CF？若存在，求出此時BD的長；若不存在，請說明理由．
【回答】
【解析】（1）*：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BAD∽△DCE．
（2）解：如圖2中，作AM⊥BC於M．
在Rt△ABM中，設BM＝4k，則AM＝BM•tanB＝4k×
＝3k，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴202＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝4或﹣4（捨棄），
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2BM＝2•4k＝32，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴
＝
，
∴DB＝
＝
＝
，
∵DE∥AB，
∴
＝
，
∴AE＝
＝
＝
．
（3）點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥BC於H，AM⊥BC於M，AN⊥FH於N．則∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，
∴四邊形AMHN爲矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵AB＝20，tanB＝
∴BM＝CM＝16，
∴BC＝32，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝
＝
＝12，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴
＝
＝tan∠ADF＝tanB＝
，
∴AN＝
AM＝
×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，
當DF＝CF時，由點D不與點C重合，可知△DFC爲等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，
∴點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF＝CF，此時BD＝18．
知識點：相似三角形
題型：解答題
