問題詳情:
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分線,點O在AB上,以點O爲圓心,OB爲半徑的圓經過點D,交BC於點E.
(1)求*:AC是⊙O的切線;
(2)若OB=10,CD=8,求CE的長.
【回答】
【考點】切線的判定;圓周角定理.
【分析】(1)連接OD,由BD爲角平分線得到一對角相等,再根據等腰三角形的*質得出一對內錯角相等,進而確定出OD與BC平行,利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA爲直角,即可得*;
(2)過O作OG垂直於BE,可得出四邊形ODCG爲矩形,利用勾股定理求出BG的長,由垂徑定理可得BE=2BG,中由切割線定理求出CE的長即可.
【解答】(1)*:連接OD,如圖,
∵BD爲∠ABC平分線,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ODA=90°,
∴AC是⊙O的切線;
(2)解:過O作OG⊥BC,連接OE,
則四邊形ODCG爲矩形,
∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,
在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6,
∵OG⊥BE,OB=OE,
∴BE=2BG=12.
解得:BE=12,
∵AC是⊙O的切線,
∴CD2=CE•CB,
即82=CE(CE+12),
解得:CE=4或CE=﹣16(捨去),
即CE的長爲4.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題