問題詳情：
在平面直角座標系中，已知拋物線
（
爲常數）的頂點爲
，等腰直角三角形
的定點
的座標爲
，
的座標爲
，直角頂點
在第四象限.
（1）如圖，若該拋物線過 
，
兩點，求該拋物線的函數表達式；（3分）
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點在直線
上滑動，且與
交於另一點
.
i）若點
在直線下方，且爲平移前（1）中拋物線上的點，當以
三點爲頂點的三角形是等腰直角三角形時，求所有符合條件的點
的座標；（4分）
ii）取
的中點
，連接
.試探究
是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由. （2分）
【回答】
解（1）A(0,-1) C(4,3)
則｜AC｜=
ABC爲等腰直角三角形 ∴AB=BC=4
∴B點(4,-1)將A,B代入拋物線方程有
⇒
∴
…………………………………..3
（2）當頂點P在直線AC上滑動時，平移後拋物線與AC另一交點Q就是A點沿直線AC滑動同樣的單位。
原拋物線
∴頂點P爲(2,1)
設平移後頂點P爲(a,a-1),
則平移後拋物線
聯立y=x-1(直線AC方程) 得Q點爲（a-2,a-3）∴｜PQ｜=
即實際上是線段AP在直線AC上的滑動.
ⅰ）點M在直線AC下方，且M,P,Q構成等腰直角三角形，
那麼先考慮使MP,Q構成等腰直角三角形的M點的軌跡，
再求其軌跡與拋物線的交點以確定M點.
① 若∠M爲直角，
則M點軌跡即爲AC下方距AC爲MH且與AC平行的直線l
又知｜PQ｜=
，則｜MH｜=
｜PM｜=2
直線l即爲AC向下平移｜PM｜=2個單位 L:y=x-3 聯立
得x=1±
M點爲（1+
，
-2）或（1-
，-
-2）…………………………5
② 若∠P=或∠Q爲直角，即PQ爲直角邊，MQ⊥PQ且，MQ=PQ=
或MP⊥PQ,且MP=PQ=
,∴M點軌跡是AC下方距AC爲
且與AC平行直線L
直線L即爲AC向下平移｜MP｜=4個單位L:y=x-5聯立
得x=4或x=-2∴M點爲(4,-1)或（-2，-7）
綜上所有符合條件的點M爲（1+
，
-2）（4,-1）；
（1-
，-
-2）,（-2，-7）…………………7
ⅱ)(特別說明：解答中的M都應該換成F)
知PQ=
有最大值，即NP+BQ有最小值
如下圖，取AB中點F，連結QF,NF,知N爲中點∴FN爲AC邊中位線，∴FN∥AC且FN=
AC=
=PQ∴
∴FNPQ爲平行四邊形
即PN=QF ∴QB+PN=BQ+FQ 此時，作B點關於AC對稱的點B′,連
,
交AC於點H，易知
=BQ
∴BQ+PN=
+FQ≥
(三角形兩邊之和大於第三邊)僅當Q與H重合時，取等號
即BQ+PN最小值存在 且最小值爲
連結
知
爲等腰直角三角形。
=4，AF=
AB=2 ∴由勾股定理得
∴
最大值存在，且最大值爲
………………9
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知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
