問題詳情:
如圖所示,A、B兩城相距100 km,某天然氣公司計劃在兩地之間建一天然氣站D給A、B兩城供氣.已知D地距A城x km,爲保*城市安全,天然氣站距兩城市的距離均不得少於10 km.已知建設費用y(萬元)與A、B兩地的供氣距離(km)的平方和成正比.當天然氣站D距A城的距離爲40 km時,建設費用爲1 300萬元(供氣距離指天然氣站距到城市的距離).
(1)把建設費用y(萬元)表示成供氣距離x(km)的函數,並求定義域;
(2)天然氣供氣站建在距A城多遠,才能使建設供氣費用最小,最小費用是多少?
【回答】
解 (1)由題意知D地距B地(100-x)km,則所以10≤x≤90.
設比例係數爲k,則y=k[x2+(100-x)2](10≤x≤90),
又x=40時,y=1300,所以1 300=k(402+602),
即k=,所以y=[x2+(100-x)2]=(x2-100x+5 000)(10≤x≤90).
(2)由於y=(x2-100x+5 000)
=(x-50)2+1 250,
所以當x=50時,y有最小值爲1 250萬元.
所以當供氣站建在距A城50 km處,能使建設費用最小,最小費用是1 250萬元【例1】 求*方程x·2x=1至少有一個小於1的正根.
* 令f(x)=x·2x-1,則f(x)的圖象在R上是一條連續不斷的曲線.
當x=0時,f(0)=0×20-1=-1<0,
當x=1時,f(1)=1×21-1=1>0,
∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)=x·2x-1在區間(0,1)內至少有一個零點,故方程x·2x=1至少有一個小於1的正根.
知識點:函數的應用
題型:解答題