問題詳情:
已知橢圓E: +=1的左右頂點分別爲A、B,點P爲橢圓上異於A,B的任意一點.
(Ⅰ)求直線PA與PB的斜率乘積的值;
(Ⅱ)設Q(t,0)(t≠),過點Q作與x軸不重合的任意直線交橢圓E於M,N兩點,則是否存在實數t,使得以MN爲直徑的圓恆過點A?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】橢圓的簡單*質.
【專題】計算題;平面向量及應用;圓錐曲線的定義、*質與方程.
【分析】(Ⅰ)由題意知.設點P(x,y)(y≠0),從而可得,從而解得.
(Ⅱ)假設存在實數t,使得以MN爲直徑的圓恆過點A;再設M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程爲x=ay+t,(a∈R),聯立化簡可得(2a2+3)y2+4aty+2t2﹣6=0,從而利用韋達定理可得y1+y2=﹣,y1y2=;化簡•=(x1+,y1)(x2+,y2)=a2y1y2+(+t)a(y1+y2)+(+t)2+y1y2,代入化簡可得5t2+6t+3=0,從而解得.
【解答】解:(Ⅰ).設點P(x,y)(y≠0),
則有,
即,
∴=.
(Ⅱ)假設存在實數t,使得以MN爲直徑的圓恆過點A;
設M(x1,y1),N(x2,y2),
∵MN與x軸不重合,
∴設直線MN的方程爲x=ay+t,(a∈R),
由化簡得,
(2a2+3)y2+4aty+2t2﹣6=0,
由題意可知△>0成立,且y1+y2=﹣,y1y2=;
•=(x1+,y1)(x2+,y2)
=(ay1+t+,y1)(ay2+t+,y2)
=(ay1+t+)(ay2+t+)+y1y2
=a2y1y2+(+t)a(y1+y2)+(+t)2+y1y2
將y1+y2=﹣,y1y2=代入上式可得,
•=a2﹣(+t)a+(+t)2+=0,
即=0,
即a2(2t2﹣6﹣4t﹣4t2+2t2+4t+6)+2t2﹣6+3(+t)2=0,
即5t2+6t+3=0,
解得,t=﹣(捨去)或t=﹣.
故t=﹣.
【點評】本題考查了橢圓與直線的位置關係的判斷與應用,同時考查了平面向量的應用,同時考查了學生的化簡運算的能力.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題