問題詳情:
邊長爲2的正方形ABCD中,P是對角線AC上的一個動點(點P與A、C不重合),連接BP,將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ,連接QP,QP與BC交於點E,QP延長線與AD(或AD延長線)交於點F.
(1)連接CQ,*:CQ=AP;
(2)設AP=x,CE=y,試寫出y關於x的函數關係式,並求當x爲何值時,CE=BC;
(3)猜想PF與EQ的數量關係,並*你的結論.
【回答】
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)*出∠ABP=∠CBQ,由SAS*△BAP≌△BCQ可得結論;
(2)如圖1*△APB∽△CEP,列比例式可得y與x的關係式,根據CE=BC計算CE的長,即y的長,代入關係式解方程可得x的值;
(3)如圖3,作輔助線,構建全等三角形,*△PGB≌△QEB,得EQ=PG,由F、A、G、P四點共圓,
得∠FGP=∠FAP=45°,所以△FPG是等腰直角三角形,可得結論.
如圖4,當F在AD的延長線上時,同理可得結論.
【解答】(1)*:如圖1,∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC,即∠ABP=∠CBQ.
在△BAP和△BCQ中,
∵,
∴△BAP≌△BCQ(SAS).
∴CQ=AP;
(2)解:如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=∠BCD=45°,
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°,
∵DC=AD=2,
由勾股定理得:AC==4,
∵AP=x,
∴PC=4﹣x,
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=45°,
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°,
∴∠CPQ=∠ABP,
∵∠BAC=∠ACB=45°,
∴△APB∽△CEP,
∴,
∴,
∴y=x(4﹣x)=﹣x(0<x<4),
由CE=BC==,
∴y=﹣x=,
x2﹣4x=3=0,
(x﹣3)(x﹣1)=0,
x=3或1,
∴當x=3或1時,CE=BC;
(3)解:結論:PF=EQ,理由是:
如圖3,當F在邊AD上時,過P作PG⊥FQ,交AB於G,則∠GPF=90°,
∵∠BPQ=45°,
∴∠GPB=45°,
∴∠GPB=∠PQB=45°,
∵PB=BQ,∠ABP=∠CBQ,
∴△PGB≌△QEB,
∴EQ=PG,
∵∠BAD=90°,
∴F、A、G、P四點共圓,
連接FG,
∴∠FGP=∠FAP=45°,
∴△FPG是等腰直角三角形,
∴PF=PG,
∴PF=EQ.
當F在AD的延長線上時,如圖4,同理可得:PF=PG=EQ.
知識點:各地中考
題型:綜合題