問題詳情:
若*具有以下*質:①,;②若,則,且時,.
則稱*是“好集”.(Ⅰ)分別判斷*,有理數集是否是“好集”,並說明理由;
(Ⅱ)設*是“好集”,求*:若,則;(Ⅲ)對任意的一個“好集”,分別判斷下面命題的真假,並說明理由.命題:若,則必有;命題:若,且,則必有;
【回答】
解:(Ⅰ)*不是“好集”. 理由是:假設*是“好集”. 因爲,,所以. 這與矛盾. 有理數集是“好集”. 因爲,,對任意的,有,且時,.
所以有理數集是“好集”.
(Ⅱ)因爲*是“好集”,所以 .若,則,即.所以,即.
(Ⅲ)命題均爲真命題. 理由如下: 對任意一個“好集”,任取,
若中有0或1時,顯然.下設均不爲0,1. 由定義可知:.
所以 ,即.所以 . 由(Ⅱ)可得:,即. 同理可得.若或,則顯然.若且,則.
所以 .所以 由(Ⅱ)可得:.所以 .
綜上可知,,即命題爲真命題.若,且,則.所以 ,即命題爲真命題.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題