問題詳情：
.在三棱臺
中，
是等邊三角形，二面角
的平面角爲
，
.
（I）求*：
；
（II）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【回答】
【詳解】（I）*：設
，
與
交於點
，取棱
的中點
，連結
.
因
，
，
故
.
又
是棱
的中點，
故
.
同理
又
平面
，且
，
因此
平面
，
又
平面
，
所以
；
（II）方法一：
作
，垂足爲
.
因
平面
，
故
平面
，
從而
爲直線
與平面
所成的角.
不妨設
,則
，
，
所以
.
方法二：如圖，以
爲原點建立空間直角座標系
，
由（I），
爲二面角
的平面角，則
，
設
，
，則點
,
,
，
.
設
爲平面
，即平面
的一個法向量，
由
，得
，
令
，則
，即
.
設
是直線
與平面
所成的角，
則
.
【點睛】本題第一問主要考查由線面垂直推面面垂直，需要用到線面垂直的判定定理；第二問求線面角的正弦值，通常有兩種做法：立體幾何法（即在幾何體中直接作出直線與平面所成的角，求解即可）和空間向量的方法（即建立適當座標系求出直線的方向向量和平面的法向量，由向量的夾角確定線面角即可）；屬於常考題型.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
