問題詳情：
如圖，四邊形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，將矩形OABC沿直線AC摺疊，使點B落在點D處，AD交OC於點E.
(1)求OE的長；
(2)求過O，D，C三點的拋物線的解析式；
(3)若F爲過O，D，C三點的拋物線的頂點，一動點P從點A出發，沿*線AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當運動時間T(秒)爲何值時，直線PF把△FAC分成面積之比爲1∶3的兩部分．
【回答】
解：(1)∵四邊形OABC是矩形，
∴∠CDE＝∠AOE＝90°，OA＝BC＝CD.
又∵∠CED＝∠OEA，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，
∴OE2＋OA2＝(AD－DE)2，
即OE2＋42＝(8－OE)2，
解得OE＝3；
(2)∵EC＝8－3＝5，如解圖，過D作DG⊥EC於G，
易得△DGE∽△CDE，
∴
＝
，
，
∴DG＝
，EG＝
，
∴OG＝3＋
＝
.
∴D(
，
)，
∵O點爲座標原點，
故可設過O，C，D三點的拋物線的解析式爲y＝Ax2＋Bx，將C(8，0)與D(，
)代入y＝ax2＋bx，得，
，解得
，
∴所求拋物線的解析式爲y＝－
x2＋
x；
第13題解圖
(3)∵y＝－x2＋x＝－
(x－4)2＋
，
∴F(4，
)．
設直線AC的解析式爲y＝Kx＋B(K≠0)，將A(0，－4)與C(8，0)代入y＝Kx＋B，得
，解得
∴直線AC的解析式爲y＝
x－4.
如解圖，設直線FP交直線AC於H(M，
M－4)，過H作HM⊥OA於點M，
∴△AMH∽△AOC，
∴MH∶OC＝AH∶AC.
∵S△FAH∶S△FHC＝1∶3或3∶1，
∴AH∶HC＝1∶3或3∶1，
∴MH∶OC＝AH∶AC＝1∶4或3∶4，
∴HM＝2或6，
即M＝2或6，
∴H1(2，－3)，H2(6，－1)，
∴直線FH1的解析式爲y＝
x－
，
令y＝－4，x＝
；
直線FH2的解析式爲y＝－
x＋
，
令y＝－4，x＝
，
∴當T＝
或
時，直線PF把△FAC分成面積之比爲1∶3的兩部分．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
