問題詳情:
已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D、E分別在BC、AC邊上,連結BE、AD交於點P,設AC=kBD,CD=kAE,k爲常數,試探究∠APE的度數:
(1)如圖1,若k=1,則∠APE的度數爲 ;
(2)如圖2,若k=,試問(1)中的結論是否成立?若成立,請說明理由;若不成立,求出∠APE的度數.
(3)如圖3,若k=,且D、E分別在CB、CA的延長線上,(2)中的結論是否成立,請說明理由.
【回答】
解:(1)如圖1,過點A作AF∥CB,過點B作BF∥AD相交於F,連接EF,∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四邊形ADBF是平行四邊形,∴BD=AF,BF=AD.
∵AC=BD,CD=AE,∴AF=AC.
∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE≌△ACD,∴EF=AD=BF,∠FEA=∠ADC.
∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD.
∵AD∥BF,∴∠EFB=90°.
∵EF=BF,∴∠FBE=45°,∴∠APE=45°.
故*爲:45°.
(2)(1)中結論不成立,理由如下:
如圖2,過點A作AF∥CB,過點B作BF∥AD相交於F,連接EF,∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四邊形ADBF是平行四邊形,∴BD=AF,BF=AD.
∵AC=BD,CD=AE,∴.
∵BD=AF,∴.
∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE∽△ACD,∴ =,∠FEA=∠ADC.
∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD.∵AD∥BF,∴∠EFB=90°.在Rt△EFB中,tan∠FBE=,∴∠FBE=30°,∴∠APE=30°,(3)(2)中結論成立,如圖3,作EH∥CD,DH∥BE,EH,DH相交於H,連接AH,∴∠APE=∠ADH,∠HEC=∠C=90°,四邊形EBDH是平行四邊形,∴BE=DH,EH=BD.
∵AC=BD,CD=AE,∴.
∵∠HEA=∠C=90°,∴△ACD∽△HEA,∴,∠ADC=∠HAE.
∵∠CAD+∠ADC=90°,∴∠HAE+∠CAD=90°,∴∠HAD=90°.在Rt△DAH中,tan∠ADH==,∴∠ADH=30°,∴∠APE=30°.
知識點:各地中考
題型:綜合題