問題詳情：
某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧
（P爲此圓弧的中點）和線段MN構成．已知圓O的半徑爲40米，點P到MN的距離爲50米．現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀爲矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀爲
，要求
均在線段
上，
均在圓弧上．設OC與MN所成的角爲
．
（1）用
分別表示矩形
和
的面積，並確定
的取值範圍；
（2）若大棚Ⅰ內種植*種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且*、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比爲
．求當
爲何值時，能使*、乙兩種蔬菜的年總產值最大．
【回答】
解：（1）連結PO並延長交MN於H，則PH⊥MN，所以OH=10．
過O作OE⊥BC於E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
則矩形ABCD的面積爲2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面積爲
×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線於G和K，則GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，則sinθ0=
，θ0∈（0，
）．
當θ∈[θ0，
）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值範圍是[
，1）．
答：矩形ABCD的面積爲800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積爲
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值範圍是[
，1）．
（2）因爲*、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比爲4∶3，
設*的單位面積的年產值爲4k，乙的單位面積的年產值爲3k（k>0），
則年總產值爲4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，
）．
設f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，
），
則
．
令
，得θ=
，
當θ∈（θ0，
）時，
，所以f（θ）爲增函數；
當θ∈（
，
）時，
，所以f（θ）爲減函數，
因此，當θ=
時，f（θ）取到最大值．
答：當θ=
時，能使*、乙兩種蔬菜的年總產值最大．
知識點：高考試題
題型：解答題
